阿贝尔通过正常渠道将论文提交到法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，很巧妙地将它遗失然后声称找不到了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久。
阿贝尔在欧洲大陆上没有取得合适的职位，经济的拮据使他在1827年5月回到挪威。1829年4月6日晨，他在贫病交困中郁郁去世，这颗耀眼的数学新星过早殒落,时年27岁。死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知哥廷根大学已决定聘请他担任数学教授。人类数学界的损失是难以估计的，如果阿贝尔活到应有的寿命，不知将要做出多少新的贡献！
阿贝尔和雅可比(jacobi)是公认的椭圆函数论的创始人。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，引进阿贝尔积分。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。可惜他的论文的价值受到高斯等老顽固的轻视和打压，没有及时被学术界所认识。
椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（a.legen-de）。他研究这个题材长达40年之久，引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，却没有增进任何基本思想，并把这项研究引到了“山重水复疑无路”的困境。
正是阿贝尔开拓了“柳暗花明又一春”的前景，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色。关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式，其不定积分的反函数就是三角函数。而椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？
“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它，就像乾隆爷一生苦修写了四万多首诗一样，因缺乏灵感，难有突破。
科学史上并不乏这样的例证，优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不只是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种天赋，一种灵感，一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的旷世天才吧。
“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数k，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则由不久后的黎曼（b.iemann）首先提出并深入研究。
自16世纪以来，随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索一无所获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式，解决了这个世纪难题。
而且更重要的，事实上阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（e）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。
为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年，挪威政府于2002年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项奖金高达80万美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最高的数学奖。在挪威皇宫还有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数。
如果说是贫穷毁了阿贝尔，那么可以说是冲动毁了伽罗瓦。
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个年仅21岁的可怜人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年---他就是伽罗华。
伽罗华的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗华童年时代就极有才华，表现出认真、热心等良好的品格。其父尼古拉?加布里埃尔?伽罗华属