88看书>青春校园>发个微信去地府>第七百一十四章 拓扑

这个看完了可以和朋友聚会的时候吹嘘一下自己的高大上。

2016年诺贝尔物理学奖授予三位科学家——戴维索利斯、邓肯霍尔丹和迈克尔科斯特利茨,以表彰他们发现了物质拓扑相,以及在拓扑相变方面作出的理论贡献。

何为“拓扑”?斯坦福大学物理学教授张首晟介绍,拓扑是一个几何学概念,描述的是几何图案或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质。

拓扑很高大上?其实,它有最接地气的定理

想象一个表面长满毛的球体,你能把所有的毛全部梳平,不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗?拓扑学告诉你,这是办不到的。

这个定理被称为“毛球定理”,由布劳威尔首先证明。用数学语言来说就是,在一个球体表面,不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间:对于任意一个偶数维的球面,连续的单位向量场都是不存在的。

毛球定理在气象学上有一个有趣的应用:由于地球表面的风速和风向都是连续的,因此由毛球定理,地球上总会有一个风速为0的地方,也就是说气旋和风眼是不可避免的。

毛球定理还有一个意想不到的“应用”是在电子游戏里!很多人在玩第一人称射击游戏的时候会发现一个问题:当你上移鼠标,让你的角色抬头看天的时候,一个手抖就会发现自己的角色瞬间转了一百八十度;另一些游戏里同样的现象会发生在朝脚底下看的时候。这就是你遭遇了毛球的“旋”。

出现这一现象是因为游戏引擎需要解决一个数学问题:玩家用鼠标输入的数据只是一个视线轴,游戏画面其实理论上可以绕这个轴任意旋转的。那么实际的画面到底应该哪里是上哪里是下呢?这就需要给每一个鼠标数据对应一个方向——也就是一个向量场。不幸的是,毛球定理指出这个场一定有至少一个不连续点,所以在这个点附近,鼠标极其微小的运动都会导致画面大幅翻转。

而vr设备就不存在这个问题了,因为决定vr画面的不仅仅是鼠标位置这一个变量,它有一整个头戴设备呢,所以就不会出现旋。

“任何一个”这个词是很宽松的——组成三明治的食材不必相互接触,每个食材本身也不必是一片而可以是很多片。哪怕你把三明治放进搅拌机打成了酱,或者撕碎了通通喂给鸭子,都没有关系——只要你的三明治分成三部分,那就一定有一刀,能够把每一部分都切成等量的两半。

它还可以扩展到n维的情况:如果在n维空间中有n个物体,那么总存在一个n-1维的超平面,它能把每个物体都分成“体积”相等的两份。

这个定理被称为——如你所料——“火腿三明治定理”。最早由斯蒂芬巴拿赫证明,在代数拓扑里出现,在测度论里也有重大的用途。

地球上的时区两两之间是相连的,东八区之后是东九区,再之后是东十区,依此类推——但有一个例外:国际日期变更线。它两边差开了一天。

能不能设计出一种不需要国际日期变更线的时区体系?答案是不能,分得再细再繁琐也不行。这是拓扑学中博苏克-乌拉姆定理在一维情况下的推论,该定理是乌拉姆提出的,由博苏克在1933年证明。

实际上这个定理本身的表述是“任意给定一个从n维球面到n维空间的连续函数,总能在球面上找到两个与球心相对称的点,他们的函数值是相同的。”当令n=1的时候,就变成了赤道和时间的对应。

这个定理还有一个推论是,在地球上总存在对称的两点,它们的温度和大气压的值正好都相同。

定理4:握住一个装满咖啡的咖啡杯,在不松手也不洒咖啡的前提下,必须让咖啡杯旋转两圈才能让你的手、胳膊和咖啡杯回到原状】

(请勿用热咖啡尝试本实验。)

方法:伸出手向前反手握住咖啡杯,然后逐渐向胸前旋转,从腋下穿过,这是第一圈。此时咖啡杯转完了一圈,但胳膊已经扭曲成了奇怪的形状。这时将胳膊抬高,从头顶再转过第二圈,才能让一切复原。

手残党瞩目:你们用空杯子就好,以免灌自己一脖子水。

实际上你的手和咖啡杯的旋转在拓扑学中称为旋转群so(3);完全回到原状就等于在so(3)里画出了一个环。拓扑学中,so(3)的基本群是“z/2”——这意味着,你要让咖啡杯复原两次,才能让你的整个胳膊复原一次。

也就是说,如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图,那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。

1912年,荷兰数学家布劳威尔证明了这么一个定理:假设d是某个圆盘中的点集,f是一个从d到它自身的连续函数,则一定有一个点x,使得f(x)=x。换句话说,让一个圆盘里的所有点做连续的运动,则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理(brou)。

除了上面的“地图定理”,布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸,把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上,根据布劳威尔不动点定理,纸团上一定存在一点,它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。

这个定理也可以扩展到三维空间中去:当你搅拌完咖啡后,一定能在咖啡中找到一个点,它在搅拌前后的


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